Вписанные и описанные окружности треугольников

Вписанная окружность

Определение 41: Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Рис. 35. Треугольник и вписанная в него окружность.

Примечание: радиус вписанной окружности обозначается как r (строчная буква) Теорема 67: В любой треугольник можно вписать окружность. Теорема 68: Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника.

Теорема 69: Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой. Формула 1 (отражает теорему 69): r = (a + b - c) / 2, где a и b — катеты, c — гипотенуза, r — радиус вписанной окружности.

Описанная окружность

Определение 42: Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Рис. 37. Треугольник и описанная около него окружность.

Примечание: радиус описанной окружности обозначается как R (заглавная буква) Теорема 70: Около любого треугольника можно описать окружность. Теорема 71: Центр описанной около треугольника окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведённых к сторонам этого треугольника. Теорема 72: В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Теорема 73: В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности находится на середине гипотенузы. Формула 2 (отражает теорему 73): R = c / 2, где c — гипотенуза, R — радиус описанной окружности. Теорема 74: В тупоугольном треугольнике центр описанной окружности находится за пределами треугольника.

Рис. 38 к теореме 72. На рисунке отрезок OX — радиус вписанной окружности, а OY — описанной.